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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 >\E}R361B(  
@p R60  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. b-c}"<fqv  
<S*}@<+*2  
　　1、三角函数本质：  Bf/)I&  
w[. X#b_  
　　三角函数的本质来源于定义 FXF5UrG]lo  
Q:)ry- )uw  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Vp 6B*X!u  
/67yEdTD  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 >i> i }w  
bE?: UP  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： `Mv.N4_.  
g "\3  
　　推导： j]lKBK5I+h  
K<kC?;U  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 7#6FP0|  
,@XWBB}b=  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) (38;=EU  
6G.A1Xv^  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) z~:s+hiaj  
 E -dCQ  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 P -M-]o4  
<i16R}lQD  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） wYqzX,K3YK  
vfPTbU1~3  
　　[1] J]?SQ-O  
mQ.rr?B  
　　两角和公式 _6B&YimI^  
8jB/hdq=c^  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ku`v\3jk  
F)r*{xxlt  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  |!p={_  
'Sg-qAbG  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB @TT*B%cLX  
^{&uvxa  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB _{D8L"  
k@ _mnZ^  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) VL%[M6*]H  
"-  ^$;  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) RY$~@%/  
 r Q-FvW  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  iS L5 /G  
,8^'7]Q.i  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Q(l!T p  
7cdA#l  
倍角公式 \sp\[Zu  
P6ylWU?A  
　　Sin2A=2SinA•CosA 0S!gk{LPQ  
%W@xUv@  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 =2De-.!i  
]9Hr~rR$m  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） )a.RHHiaQ  
<e)+m>{T  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ~O)A(gf%N  
tCG(NT 2-h  
三倍角公式 r/<C{u]<  
m 5iJs >  
　　 >KV);]%S  
 faG&p[  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) "*[&o\)"  
Kr8LMg  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) >4 @MKr  
3 jVnT-  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) d|j[+<;{q  
6BN +OWU  
三倍角公式推导 O@kV (Mt  
}? P ^hN  
　　sin3a mQ7%xT%  
-D\t1>'  
　　=sin(2a+a) f .[T  
j`0A+LVkh  
　　=sin2acosa+cos2asina lE,WF~pn  
-4P{/5  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 4x#*:I B~  
iwT=iL  
　　=3sina-4sin³a 9V\Mo+3)#2  
3-":3{m  
　　cos3a L;25m [v  
t2A""B  
　　=cos(2a+a) ?iI?G{  
<=t%wmz=h  
　　=cos2acosa-sin2asina DP654@  
B g|-(^b  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa |M+#7]F!g  
B#QIA@BUD[  
　　=4cos³a-3cosa iqd }q[*b)  
RN-NKv/2,  
　　sin3a=3sina-4sin³a 0#`a,>|  
; aL<sO  
　　=4sina(3/4-sin²a) ^N3/L9  
3!|rv(%   
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ;WPj7q=  
HfDY^hW  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) JlF yJc-o  
+Gk'ldSY6  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Uu e3uhn  
c3CF]!b  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ;)]'jL8B  
6[2\*  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ^yvGGBRo'y  
;?J#3NH  
　　cos3a=4cos³a-3cosa {I(sr=yS<  
;_7vlGv\  
　　=4cosa(cos²a-3/4) }@ #D_(W  
n")#($">_  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 46f70O;Yj  
x2vVn+U`  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 3X~A'Z4  
Z\U4>YJ  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) h4R, 8#}  
KNbLX:&Y  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} A xP}laD  
PGp=F /  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) {2 K/t  
9iuy mW.  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ` }JfGwp   
MkmR^7S@  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] z(cm)AG/  
(,lN+Lyk  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Bo|hO\Q@;  
:Gi2#r i  
　　上述两式相比可得 ~C +'iShM  
Iv xq_M7  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) { a6|0 O$  
;(?jI!  
半角公式 Xh=sB#EF  
{/U0dh  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); H o1sWv  
3NVTE [J  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. N "{kfv&Y  
&Z&X6ZHQbP  
和差化积 g4 BFhAK  
tR2bQ@z  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] d+/" `DWR  
57\f%fr  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] kN'VUhO  
9Ta]*V|n  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,6[=-  
Sz>/}yP>  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] dr[\uk +.  
{9`THt  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) d#0(Ro  
^};F1!j>_  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) NUwa)B-  
H jFBU</V  
积化和差 P48;1^Xy,  
$D&F8  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] xkU_) F  
R\=?i%A  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Iki0  
QJymEXJ}  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] #F.!Mu/(C  
WQaF\  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] QWu}+(qg  
r@n^alIj  
诱导公式 "t>cg2}'  
/8_5K9 i_  
　　sin(-α) = -sinα 5xZ3u .Ue  
'*d4)ms  
　　cos(-α) = cosα 3I\zf{j),  
{!l Vs  
　　sin(π/2-α) = cosα ;)A >Va  
ev2nVuYZ  
　　cos(π/2-α) = sinα O@uDZg6J_  
Gh7#CO<R]  
　　sin(π/2+α) = cosα uMzDZ"F8X  
%*]-b~h  
　　cos(π/2+α) = -sinα <6?H4s{f  
471u+?;<@  
　　sin(π-α) = sinα m<;'TgW  
O Gf,  
　　cos(π-α) = -cosα S\|Hq%#"  
Hv-MwSR7W  
　　sin(π+α) = -sinα $y^oNT._  
Mugbn wj  
　　cos(π+α) = -cosα q3-S<MjQ>  
dU#Q$6s  
　　tanA= sinA/cosA xY^pd:g/X1  
]: x$W=w=  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα -dN}`Q+6  
oHrtnc;  
　　tan（π/2－α）＝cotα NC 9/&[,  
B/ea=]W!U  
　　tan（π－α）＝－tanα \J6LH(f?  
h?iU H=8e  
　　tan（π＋α）＝tanα > ` "aT=v~  
@r &G7(  
万能公式 ;2t^a>if\  
4sl&M dV  
　　 e\'~&u}zo  
6p2@lYK  
其它公式 %nDn) %D  
.:- \TBi  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 5WJT\o Xi9  
`OSNmj  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 %t8;t? NU<  
u{I*kzf  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Lugr\XM\l  
/%CGC(F=W  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 N5]I *  
x2sn[u9/*  
　　对于任意非直角三角形,总有 :{ )^PSJ  
IwQHSPy{n  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC N(0$&d  
:P"d=<  
　　证: w.S4C6g~   
(,9v#Y8  
　　A+B=π-C B10|dMT  
"I. - X  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Eq?QOSMP  
-4!hi/o  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) BOo@u*Z  
LC:H>Y&D9  
　　整理可得 -#rm/LU>  
~o}9jP%C  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC eTdsD&/DC  
wD <>{m  
　　得证 E _/c9Zu  
g~T \gF{Z  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 !OnMu`3!  
M D9{f,  
其他非重点三角函数 IG$Dv  
uIA1qx0[  
　　csc(a) = 1/sin(a) Da*b!?H_c  
=u-eoN  
　　sec(a) = 1/cos(a) S&9<?*.C"  
x6 _N/%  
　　  sb{Ts  
Bwa*;P   
双曲函数 *)U ,}0E  
Gb\tYe8:h  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 %B-5q#_}  
^albel\Ot  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 6X*901\?  
TYR,jd= BO  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ?|Ta\ 3  
]q8:+lCJ  
　　公式一： S0%XB ?  
jVuX7P}o  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ''2pQMTo7  
2HWA #l _]  
　　sin（2kπ＋α）= sinα B)z+8z@7  
hZrMH % D  
　　cos（2kπ＋α）= cosα IlF);1S[  
{8iPq=?  
　　tan（kπ＋α）= tanα 7"6i3&`  
o(>,^m$.  
　　cot（kπ＋α）= cotα dku :e<F -  
`h2TzaK-  
　　公式二： l~goIFe  
z;VLR  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： aSq[V]|ax  
W?nk"JnE  
　　sin（π＋α）= -sinα n%567/EJ]  
W Zs? $>-  
　　cos（π＋α）= -cosα juU}znY',Q  
,{_bznfhKO  
　　tan（π＋α）= tanα @mwdC^]]  
IvF(HZ`s  
　　cot（π＋α）= cotα J1x!!j<j  
7 HPz|Q  
　　公式三： a)NUO*^k%  
eqJMD  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ?hk^i\C7)  
yXR^k$YE  
　　sin（-α）= -sinα ~[/ x  
gk AH$z#  
　　cos（-α）= cosα cew7#q@H  
;! #L{  
　　tan（-α）= -tanα n!8}ifLh  
l 0O p{  
　　cot（-α）= -cotα s"YgSQmR  
Mlcw~4.  
　　公式四： W5D\L.D  
(O@r719  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： A\NH];  
f NKN?C  
　　sin（π-α）= sinα Bih+~l0  
zOm;s"KR  
　　cos（π-α）= -cosα o h?m"A$R  
v##gZ=Sw  
　　tan（π-α）= -tanα dpEvob22B  
0_ {R8.A  
　　cot（π-α）= -cotα l~~g; |  
)3_.{~  
　　公式五： SvJN  
>,mO!7  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： s? ulzHiED  
pr;PMB?3 Z  
　　sin（2π-α）= -sinα wWe>J59  
P N(Ua</  
　　cos（2π-α）= cosα COAg|VX  
5 Ob%DYAo  
　　tan（2π-α）= -tanα u}ZB0rF  
yx$H%~Jqq  
　　cot（2π-α）= -cotα M -^en+X5  
TQ+b_aBkC$  
　　公式六： zcJd4O  
{-l&PP`Pt  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 9N<Ftq+a3>  
_n[(}ss4  
　　sin（π/2+α）= cosα ]@w )Tc=Q  
3SAoh^b  
　　cos（π/2+α）= -sinα B,4QxgI:  
Q2 Z{F  
　　tan（π/2+α）= -cotα 9*p1oTa  
3eJIZB":0  
　　cot（π/2+α）= -tanα %G<Nn!S  
o c'/  
　　sin（π/2-α）= cosα vvu0bE-  
amzr\"m ~  
　　cos（π/2-α）= sinα -3pI h"^4  
-t>K3W  
　　tan（π/2-α）= cotα mJTiG=D< t  
h;33@W  
　　cot（π/2-α）= tanα .#KPF?t"  
v;u{)_Ru  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ky _#PT0Z%  
B*8Y0_|i  
　　cos（3π/2+α）= sinα F/<nC*R  
r KLr'I"v  
　　tan（3π/2+α）= -cotα CDX0,gd_S  
'q:yFMQ  
　　cot（3π/2+α）= -tanα |w?!jg$-_  
*PTCl(`C  
　　sin（3π/2-α）= -cosα K\U>Y mp  
3OGxF7Uk-  
　　cos（3π/2-α）= -sinα m0i{oH0S  
/'}[<S?V  
　　tan（3π/2-α）= cotα ^.ZOrsL  
-HakDNKM  
　　cot（3π/2-α）= tanα MQYR%>|&1h  
!&Rf\s6fCz  
　　(以上k∈Z) erWuZ  
+-/nq6,e  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 %}2 rS2TV  
j?K~ ` L  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = x e  >:F  
/#1iOSLE  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } DcVt}x=(  
/dy9>lw  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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